2+2=4 #16

Gastbeitrag von John Shand

Dieser Artikel im Englischen Original

Liebe Freunde von Daily Philosophy,

Ich freue mich sehr auf den Artikel dieser Woche, der der Frage nachgeht, warum eigentlich 2+2=4 ist — und woher wissen wir das überhaupt? Ich finde Philosophie immer dann am spannendsten, wenn sie nicht schwierige technische Probleme diskutiert, wie die Metaphysik von freiem Willen und Determinismus, sondern wenn sie die Art von Fragen stellt, die Kinder stellen: Warum ist es schlecht, etwas zu stehlen? Warum sind wir hier? Warum hören wir gerne Musik? Und die heutige Frage: Warum ist 2+2=4? Diese Frage ist so grundlegend, ihre Antwort so „offensichtlich“, dass wir normalerweise nicht einmal versuchen würden, sie zu beantworten – die meisten von uns würden sie nicht einmal als gültige Frage anerkennen. Natürlich ist 2+2=4. Hör auf, dumm zu sein, und mach deine Hausaufgaben, wasch das Geschirr ab oder füll die Steuererklärung aus. Mach etwas Reales. Aber als Philosophen haben wir den Luxus, genau solche kindlichen Fragen stellen zu dürfen – und die Antwort entpuppt sich als viel interessanter, als man vermuten würde.

Begrüßen Sie also heute mit mir noch einmal Dr. John Shand, der uns auf eine Reise in die Tiefen der einfachsten aller Grundschul-Rechenaufgaben mitnimmt: Woher wissen wir, dass 2 plus 2 gleich 4 ist?

Einen schönen Sonntag, und bis zum nächsten Mal!

2+2=4

von John Shand

Warum ist 2+2=4...? Die Antwort ist vielleicht nicht so einfach, wie man denkt. Man sollte hinzufügen, dass 2+2=4 üblicherweise als wahr angesehen wird, ja sogar als das Paradigma einer Wahrheit schlechthin, einer gewissen, einer notwendigen Wahrheit.[1] Mit „gewiss“ ist gemeint, dass man sich sicher sein kann, dass sie wahr ist. Mit „notwendig“ ist gemeint, dass die Wahrheit nicht anders sein könnte. Die Frage der Gewissheit ist eine epistemologische: woher wir wissen, dass 2+2=4 ist. Die Frage der notwendigen Wahrheit ist eine metaphysische: was es dazu macht, dass 2+2=4 ist. Beide Aspekte werden Teil der folgenden Diskussion sein, aber das Hauptaugenmerk wird auf der metaphysischen Frage liegen, warum 2+2=4 ist. Im letzten Abschnitt werden jedoch beide Themen, Gewissheit und notwendige Wahrheit, zusammengeführt.

Hier sind einige Antworten. Ich will keineswegs vorgeben, alle Komplikationen abzudecken.

1. Offensichtlich

Es ist offensichtlich. Jeder kann einfach sehen, dass es so sein muss.

Das Problem dabei ist, dass Offensichtlichkeit nur ein psychologischer Zustand ist und nichts über die Wahrheit einer Sache aussagt oder darüber, ob etwas tatsächlich der Fall ist. Viele Dinge, die einst offensichtlich erschienen, haben sich als falsch herausgestellt. Schauen Sie aus dem Fenster, und was sehen Sie? Eine flache, wenn auch holprige Erde. Sie sieht sicherlich nicht rund aus. Offensichtlich flach. Ebenso ist es eindeutig der Fall, dass es eine fundamentale Wahrheit und ein Naturgesetz ist, dass auf Dinge eine Kraft ausgeübt werden muss, damit sie sich weiterbewegen. Es stellt sich natürlich heraus, dass genau das Gegenteil die Wahrheit ist: Dinge ruhen oder bewegen sich geradlinig weiter, solange keine Kraft auf sie einwirkt. Sicherlich ist es offensichtlich, dass die Sonne aufgeht, sich über den Himmel bewegt und untergeht? Nein, wir auf der Erde sind es, die sich bewegen und diesen Anschein erwecken. Und es ist offensichtlich, dass schwere Objekte im allgemeinen schneller fallen als leichtere. Aber es wurde gezeigt, dass, wenn man eine Feder und einen Hammer auf dem Mond fallen lässt, diese unabhängig von ihrer Masse mit der gleichen Geschwindigkeit fallen.[2] Und so weiter; Menschen können sich sehr leicht Dinge ausdenken, die offensichtlich sind, aber tatsächlich falsch. Darüber hinaus wollen wir mehr als Offensichtlichkeit; wir wollen vielleicht sagen, dass 2+2=4 eine notwendige Wahrheit ist, und es gibt unzählige vermeintliche notwendige Wahrheiten, die nicht offensichtlich sind. (6143 ÷ 321,97) x 8,43 = 160,83948 ist eine notwendige Wahrheit, genau wie 2+2=4, aber sie ist alles andere als offensichtlich; vielleicht sogar für niemanden offensichtlich, außer für jemanden mit einem außergewöhnlichen Rechenbegabung.

Aber es kommt noch schlimmer für die Antwort, dass 2+2=4 ist, weil es offensichtlich sei. Offensichtlichkeit ist eine schwache Antwort darauf, warum etwas gewiss ist, wie gerade gezeigt wurde. Aber zu sagen, etwas sei offensichtlich, geht überhaupt nicht auf die Frage ein, warum 2+2=4 wahr ist, geschweige denn, warum es eine notwendige Wahrheit ist.

2. Fakten

Fakten in der Welt. 2+2=4 ist wahr, weil das in der Welt so passiert.

Man nimmt zwei Objekte und zwei Objekte und hat dann vier Objekte. Zählen Sie sie. 1, 2 und 1, 2 und dann 2 und 2, und Sie haben 4 von was auch immer es ist. Zwei Äpfel und fügen Sie zwei weitere Äpfel hinzu, und wie viele Äpfel haben Sie? Vier Äpfel.

Hier gibt es einige Probleme.

Das erste ist, dass wir idealerweise wollten, dass 2+2=4 eine notwendige Wahrheit ist. Aber wenn die Wahrheit dieser Formel davon abhängt, wie sich Objekte in der Welt verhalten oder kombinieren, dann ist es lediglich eine kontingente Wahrheit, eine, die falsch sein könnte, wenn die Welt anders wäre. Dies würde arithmetische Wahrheiten zu Wahrheiten a posteriori machen, das heißt zu solchen, deren Wahrheit nur durch Bezugnahme auf Fakten über die Welt erkannt werden kann. Die Wahrheit 2+2=4 wäre wie das wahre Gesetz darüber, wie Objekte unter Schwerkraft im Vakuum fallen: dass in der Nähe der Erdoberfläche ein Objekt im freien Fall im Vakuum unabhängig von seiner Masse mit etwa 9,8 m/s² beschleunigt. Aber das hätte auch anders sein können. Die Schwerkraft hätte eine schwächere oder stärkere Kraft im Universum sein können, was die Wahrheit zu einer kontingenten, nicht zu einer notwendigen machen würde.

Das zweite Problem damit, dass 2+2=4 wahr ist, weil die Welt so beschaffen ist, besteht darin, dass es die Art von vermeintlicher Wahrheit wäre, deren Wahrheit wir niemals mit Gewissheit oder Notwendigkeit wissen könnten, denn wir können nicht alle zwei Objekte und zwei Objekte testen und sehen, ob sie für jede Kombination von Objekten im Universum vier ergeben. Außerdem würde schon ein einziger Fall, in dem es sich nicht zu vier addiert, dazu führen, dass 2+2=4 falsch wäre. Bestenfalls könnten wir in diesem Fall sagen, dass 2+2=4 für die Objekte im Universum, denen wir bisher begegnet sind, höchstwahrscheinlich wahr ist. Wollen wir wirklich, dass 2+2=4 nur wahrscheinlich wahr ist? So wie es nur wahrscheinlich wahr ist, wenn auch höchstwahrscheinlich, dass keine Elefanten am Nordpol leben? Damit 2+2=4 seinen üblichen Sinn, seine Gewissheit, seine Notwendigkeit behält, damit es mehr ist als nur eine universelle Wahrheit (eine universelle Wahrheit ist eine, die zufällig auf alles einer bestimmten Beschreibung zutrifft, aber im Gegensatz zu einer notwendigen dies nicht hätte tun müssen, wenn die Dinge anders gewesen wären), wollen wir nicht, dass es von Fakten über die Welt abhängt.

Der dritte Punkt ist, dass die Aussage, wenn man zwei Objekte und zwei Objekte in der Welt addiert, man vier Objekte erhält, schlichtweg falsch ist. Fügen Sie zwei Wassertropfen zu zwei Wassertropfen hinzu, und wie viele Wassertropfen haben Sie? Die Antwort ist ein Wassertropfen. Setzen Sie zwei weibliche Kaninchen und zwei männliche Kaninchen in einen Käfig, und wie viele Kaninchen haben Sie? Nach nicht allzu langer Zeit werden Sie mehr als vier Kaninchen haben. Und wenn Sie dadurch Zeitbedingungen in die Betrachtung der Fakten einbringen, was auch immer 2+2=4 sonst sein mag, es wird dann keine notwendige Wahrheit sein. Wenn Sie zwei Gläser Wasser bei 30°C zu zwei weiteren Gläsern Wasser bei 30°C hinzufügen, haben Sie dann ein Glas Wasser bei 120°C? Nein, haben Sie nicht. Sie haben höchstens ein Glas Wasser bei 30°C. Man könnte versuchen, die Bedingungen der „Addierbarkeit“ von Objekten sozusagen vorzuschreiben. Äpfel sind also in Ordnung, zumindest für eine Weile, weil sie getrennt bleiben. Aber dann stipuliert man lediglich die Objekte, auf die 2+2=4 angewendet werden kann und auf die nicht. Aber auf welcher Grundlage? Wenn man sagt, es liegt daran, dass man vier erhält, wenn man zwei von ihnen zu zwei anderen von ihnen hinzufügt, wird die Argumentation zirkulär: 2+2=4, weil man vier erhält, wenn man zwei Objekte und zwei Objekte addiert, und die Objekte, auf die 2+2=4 zutrifft, sind diejenigen, bei denen man vier erhält, wenn man zwei und zwei von ihnen addiert.[3]

3. Konvention und Formalismus

Es ist eine Konvention. Es ist nur formal.

Diese sind nicht dasselbe, aber es gibt einige Überschneidungen. In beiden Fällen ist 2+2=4 etwas, worauf wir uns einigen, dass es der Fall ist. Im Falle des Konventionalismus ist 2+2=4 wahr oder falsch aufgrund der Bedeutungen, die wir den Begriffen geben. Dies würde arithmetische Wahrheiten zu dem machen, was Philosophen „analytische Wahrheiten“ nennen, das heißt, wir können wissen, dass sie wahr oder falsch sind, allein durch das Verständnis der Bedeutung der Begriffe, aus denen sie bestehen, so wie wir als wahr wissen können, dass „Alle Junggesellen unverheiratete Männer sind“, vorausgesetzt, dass Junggeselle zu sein bedeutet, ein unverheirateter Mann zu sein. Wenn sich die Bedeutungen der Begriffe änderten, dann würde sich auch die Wahrheit oder Falschheit der Aussagen ändern, die sie beinhalten. Im Falle des Formalismus, obwohl es auch eine Frage unserer Einigung auf die Regeln für die Begriffe ist, macht dies 2+2=4 nicht wahr oder falsch, ebenso wenig wie die vereinbarten Regeln des Schachspiels, dass Läufer diagonal und Türme linear ziehen. Wenn man Schach spielen will, ist das die Regel, und wenn man Arithmetik betreiben will, ist das die Regel. Die einzige Frage ist, wie ‚2‘ und ‚+‘ und ‚=‘ definiert sind. Aber diese Regeln könnten geändert werden.

Das Problem mit dem Formalismus ist, wie gesagt, dass die gesamte Idee der Wahrheit im Sinne, wie sie arithmetischen Aussagen üblicherweise zugeschrieben wird, aus dem Bild verschwindet. Der Formalismus begrüßt dies jedoch. Die Züge im Schach beziehen sich auf nichts außerhalb des Schachspiels. Es ist wahr, dass es die Regeln des Schachs sind, aber die Regeln selbst sind in keinem weiteren Sinne wahr (oder falsch). Sie sind einfach nur das, was sie sind. Wir könnten es so haben, uns darauf einigen, dass Türme diagonal und Läufer linear ziehen. Man könnte in diesem Fall sagen, dass es nicht mehr Schach wäre, das man spielt, sondern „Chass“ oder so ähnlich. Dennoch kann man die Regel für diese Figuren ändern. Aber den Fall von 2+2=4 fassen wir sicherlich als an sich wahr auf, und zwar notwendigerweise. Es ist nicht nur eine Frage dessen, was wir tun müssen, wenn wir das Spiel der Arithmetik spielen wollen.

Das Problem mit dem Konventionalismus ist, dass, wenn 2+2=4 eine Konvention ist, sie geändert werden kann. Wollen wir wirklich sagen, dass die Regel, dass 2+2= so beschaffen ist, dass man keinen Fehler machen kann, wenn man 4 schreibt, weil die Regel geändert werden könnte? Dass wir durch bloße Übereinkunft wahr machen könnten, dass 2+2=5 ist? Aber wenn etwas wahr ist, und notwendigerweise wahr, kann es nicht durch bloße Konvention, bloße Übereinkunft geändert werden, egal wie universell die vereinbarte Art der Änderung ist.[4]

Der dritte Punkt betrachtet die Angelegenheit von 2+2=4 eher aus der anderen Richtung in ihrem Verhältnis zur Welt. Während wir zuvor nicht sehen konnten, wie kontingente Fakten über die Welt die Aufgabe erfüllen könnten, die notwendige Wahrheit von 2+2=4 zu sichern, ist es nun schwer zu sehen, wie 2+2=4 im Falle von Konventionalismus oder Formalismus überhaupt eine Beziehung zur Welt hat, dass es irgendetwas über die Welt aussagt. Im Falle des Konventionalismus liegt dies daran, dass 2+2=4 nur aufgrund der vereinbarten Bedeutungen seiner Begriffe wahr ist und uns daher, wie alle solchen analytischen Aussagen, nichts über die Welt sagt. Der Fall des Formalismus besteht darin, zuzugeben, dass 2+2=4 weder wahr noch falsch ist, sondern nur eine Frage formaler Regeln, und somit überhaupt nichts über die Welt aussagt. Dies ist jedoch in beiden Fällen rätselhaft, da die Arithmetik (allgemeiner die Mathematik) ein mächtiges Werkzeug ist, um uns etwas über die Welt zu erzählen, insbesondere in der Wissenschaft. Es scheint nicht nur eine Frage von veränderbaren vereinbarten Bedeutungen oder Regeln zu sein, die uns nichts über die Fakten der Welt sagen können.

4. Platonismus

Dies ist die häufigste Form des Realismus, obwohl es auch andere gibt. Er wird Platonismus genannt, weil Platon glaubte, dass es eine Welt unveränderlicher notwendiger ewiger Formen (Ideen) jenseits der Welt, die wir um uns herum sehen, gibt, ja geben muss, denen Objekte in der Welt entsprechen und auf die sie sich für ihre Identität, ihr So-Sein, stützen. Da alle Stühle in der Welt voneinander abweichen, muss es, damit es Dinge gibt, die „Stühle“ genannt werden, einen idealen Stuhl (die Stuhlheit) geben, die Form des Stuhls, die es uns erlaubt, eine bestimmte Menge von Objekten in der Welt „Stühle“ zu nennen, ohne die wir nur ein Durcheinander von ungruppierten einzelnen Individuen und keine Arten von Objekten hätten. Zu den Formen gehören mathematische Objekte und Wahrheiten. Und diese Objekte sind es, die mathematische Wahrheiten wie 2+2=4 wahr machen, denn 2 und 4 und + und = existieren als ideale ewige Objekte, und wenn sie kombiniert werden, entsprechen sie der Wahrheit, die 2+2=4 aussagt.

Alles schön und gut. 2+2=4 entspricht in seinen Teilen und als Ganzes der Existenz ewiger notwendiger Objekte – nicht Fakten über die Welt und nicht dem Nichts, wie es der Konventionalismus haben möchte.

Das Hauptproblem hierbei ist, warum man an die Existenz solcher ewigen notwendigen Objekte glauben sollte. Welche Beweise gibt es für ihre Existenz, für die Existenz einer solchen Welt? Niemand hat jemals eine solche Welt in irgendeinem üblichen Sinne des “Sehens” gesehen. Wenn man vorschlägt, dass sie existieren müssen, da wir sonst die Notwendigkeit und Wahrheit arithmetischer Aussagen wie 2+2=4 nicht erklären können, beginnen die Argumente für solche Objekte willkürlich zu wirken und die Antwort auf die Frage vorauszusetzen. Wir versuchen, die Notwendigkeit und Wahrheit von 2+2=4 zu erklären, also postulieren wir einfach die Existenz einer Welt, in der diese Wahrheit notwendigerweise existiert. Aber das löst das Problem kaum, denn es führt uns einfach zu der Frage zurück, was es bedeuten würde, dass eine solche Welt von Objekten existiert, und auf welche Weise ihre Objekte sich zu der Wahrheit wie 2+2=4 formieren können, so dass es eine notwendige Wahrheit ist. Kurz gesagt, es verschiebt das Rätsel nur an einen anderen Ort, nämlich warum sich in jener Welt Objekte zu notwendigen Wahrheiten formieren statt zu kontingenten. Es hat keinen Sinn, darauf unter Verdacht von Zirkularität zu antworten, dass sie dies tun, weil sie die Objekte notwendiger arithmetischer und mathematischer Wahrheiten sind.

5. Intuitionismus und Psychologismus

Hier werden wir diese beiden als Variationen einer gemeinsamen Idee behandeln, dass Wahrheiten wie 2+2=4 auf unserer Psychologie basieren, der Art und Weise, wie wir denken. Es sollte sofort darauf hingewiesen werden, dass „Intuition“ hier nichts damit zu tun hat, ein Gefühl über etwas zu bekommen, das sich vor den Beweisen, aus denen man die Ansicht hätte ordnungsgemäß ableiten können, als wahr herausstellen könnte. Für den Intuitionismus sind mathematische Konzepte (wie Zahlen und Addition und Gleichheit) nicht aus der Welt abgeleitet, sondern notwendige Vorbedingungen — die als a priori bezeichnet werden —, damit wir überhaupt Erfahrung von Objekten in der Welt haben können. Für den Psychologismus spiegeln mathematische Konzepte (wiederum wie Zahlen und Addition und Gleichheit) die kontingenten Fakten darüber wider, wie wir denken.

Für den Psychologismus spiegeln mathematische Konzepte die kontingenten Fakten darüber wider, wie wir denken.

Das Problem mit beiden Ideen ist, dass sie die volle Kraft von 2+2=4 als notwendige Wahrheit nicht stützen können. Dies ist im Falle des Psychologismus leicht zu sehen, wo zugegeben wird, dass eine solche Wahrheit von der Art und Weise abhängt, wie wir zufällig (kontingent) denken. Das Problem ist im Falle des Intuitionismus schwerer zu erkennen, könnte aber so formuliert werden: Es ist nicht klar, ob der Besitz mathematischer Konzepte lediglich für uns notwendig ist, um die Objekte der Welt zu erfahren, oder ob sie für jedes rationale Wesen notwendig sind, um Objekte in der Welt zu erfahren. Wenn nicht letzteres, dann untergräbt wiederum die Kontingenz der Bedingung, dass mathematische Konzepte und Wahrheiten lediglich für uns erforderlich sind, die absolute Notwendigkeit mathematischer Konzepte und Wahrheiten.[5]

6. Logizismus

Diese gewaltig klingende Ansicht ist vielleicht sowohl die am schwersten als auch die am leichtesten zu behandelnde. Die grundlegende Idee ist, dass Arithmetik und Mathematik eigentlich nur eine Erweiterung der deduktiven Logik sind. Und da wir annehmen, dass die Logik in Ordnung ist und kein Problem hat, gewisse notwendige Wahrheiten zu stützen, sollte das auch für eine darauf basierende Mathematik gelten.

Der Weg, wie dies angegangen wurde[6], führt über den Begriff der Axiome und Mengen von Mengen. Die Axiome werden als fundamentale Wahrheiten der Logik angenommen. Eine Menge ist einfach eine Sammlung wohldefinierter unterschiedlicher Objekte, die ihre Mitglieder oder Elemente genannt werden. Wie Menschen, die in einem Raum versammelt sind, oder Äpfel in einer Tasche. Zahlen werden dann durch eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz (eineindeutige Zuordnung) der Mitglieder in Mengen definiert. So haben Menschen in einer Menge und Äpfel in einer Menge die gleiche Zahl, sagen wir 2 in jeder Menge, wenn es eine Person für einen Apfel und eine andere Person für den anderen Apfel gibt und keiner übrig bleibt. Dies macht Zahlen zu einer Abstraktion – Abstrahieren bedeutet, bestimmte Merkmale außer Acht zu lassen, um eine Gemeinsamkeit zu finden –, so dass es keine Rolle spielt, dass es zwei Menschen und zwei Äpfel sind, oder zwei von irgendetwas anderem – was hier gemeinsam ist und abstrahiert wird, sind zwei von was auch immer es ist, ihre Zweiheit.

Es ist zu kompliziert, auf die Probleme dieser Sichtweise von Arithmetik und Mathematik einzugehen. Im Wesentlichen wurde festgestellt, dass es ein unlösbares, vermeintliches Paradoxon oder einen Widerspruch in der bloßen Idee einer Menge gibt[7], was die Gewissheit und Notwendigkeit untergrub, die die Logik der Mathematik verleihen sollte. Auch kann man sich fragen, da die Mitglieder einer Menge, die eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz haben, bereits das Konzept der Zahl Eins beinhalten, wie dies den Begriff der Zahlen als solcher begründen kann.[8]

Zudem ist es eine seltsame Situation, wenn der Beweis, in diesem Fall der Wahrheit, dass 1+1=2 ist (aber dasselbe würde für 2+2=4 gelten), in zumindest einem berühmten logizistischen Beispiel ihre Wahrheit weniger offensichtlich und komplexer macht (abhängig von einem riesigen logischen Apparat) als die Wahrheit selbst.[9]

7. Widerspruch

Aber hier ist eine andere Ansicht. Sie führt das eingangs erwähnte Epistemische (Gewissheit) und Metaphysische (notwendige Wahrheit) zusammen. Und dies bezieht sich auf die zuvor erwähnte einfachere Form dessen, was man als Logizismus im weitesten Sinne betrachten könnte, und trifft zumindest auf die Gewissheit und notwendige Wahrheit von 2+2=4 zu, was unsere ursprüngliche Frage war.

Sie beruft sich auf das grundlegendste Konzept der Logik. Warum ist 2+2=4? Diese Antwort ist die hier bevorzugte.[10] Das heißt, dass 2+2=4 gewiss, notwendig und a priori (das heißt ohne Bezug auf Fakten über die Welt) gewusst werden kann, weil ihre Leugnung ein logischer Widerspruch wäre, da zu behaupten, dass 2+2≠4 ist, dasselbe wäre wie zu behaupten, dass 1+1+1+1≠1+1+1+1 ist. Wenn man das Äquivalent von 2+2=4 als 1+1+1+1=1+1+1+1 setzt, kann man deutlich sehen, dass das, was auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht, dasselbe ist, ja gleich ist. Man behauptet auf beiden Seiten dasselbe. Daher ist es ein Widerspruch, eine Sache auf einer Seite zu behaupten und zu behaupten, dass sie nicht dasselbe ist wie auf der anderen Seite; man behauptet etwas und leugnet es gleichzeitig.

Was ist falsch an Widersprüchen, mag man fragen? Warum sie nicht zulassen?[11] Es ist eine dieser Grundregeln der Logik, dass (p & ∼p) nicht erlaubt sein kann, so dass ∼(p & ∼p) immer und notwendigerweise wahr ist. Hier ist ‚p‘ eine Variable, die für jede beliebige Aussage steht, und so gilt ∼(p & ∼p) für jede Aussage, die wir für p einsetzen können. Der Grund dafür, so könnte man sagen, ist, dass das Zulassen von Widersprüchen die bloße Möglichkeit jeglichen Diskurses untergraben würde, denn sie zuzulassen würde bedeuten, dass es keinen Unterschied zwischen Behauptung und Leugnung gäbe. Wie könnte man wissen, was jemand sagt, wenn in allen Fällen alles, was er sagt, das eine oder sein genaues Gegenteil bedeuten könnte? Man wüsste nicht, wenn jemand sagt „Die Katze sitzt auf der Matte“, ob er nicht sagt „Die Katze sitzt nicht auf der Matte“ – kurz gesagt, man könnte ohne das Festhalten am Ausschluss von Widersprüchen aus dem Diskurs nicht sagen, was irgendjemand sagt, was er meint. Äußerungen wären bedeutungslos.

Wenn logische Widersprüche in jedem Diskurs nicht erlaubt sein dürfen, so dass sie, wenn sie auftauchen, eine Auflösung erfordern, und wenn zu leugnen, dass 2+2=4 ist, ein logischer Widerspruch ist, dann muss auch dies geleugnet werden, denn wie im Diskurs allgemein gilt: Wenn es erlaubt ist zu behaupten, dass 2+2≠4 ist, dann wäre die gesamte Arithmetik und im weiteren Sinne die Mathematik unmöglich und bedeutungslos. 2+2=4 ist gewiss und notwendigerweise wahr, weil 1+1+1+1=1+1+1+1 ist, und jede Leugnung dessen ein logischer Widerspruch wäre.

Dr. John Shand ist Visiting Fellow in Philosophie an der Open University. Er studierte Philosophie an der University of Manchester und am King’s College, University of Cambridge. Er hat in Cambridge, Manchester und an der Open University gelehrt. Er ist Autor zahlreicher Artikel, Rezensionen und herausgegebener Bücher; zu seinen eigenen Büchern gehören Arguing Well (London: Routledge, 2000) und Philosophy and Philosophers: An Introduction to Western Philosophy, 2. Auflage (London: Routledge, 2014).

Kontaktinformationen:

• Dr John Shand, The Open University, Walton Hall, Milton Keynes, Buckinghamshire, MK7 6AA, United Kingdom.

• https://open.academia.edu/JohnShand

• http://fass.open.ac.uk/philosophy/people

Anmerkungen

[1]: Deshalb verwendet George Orwell in Neunzehnhundertvierundachtzig (auch veröffentlicht als 1984) dies als die letzte Wahrheit, die vom Staat zerstört wird, etwas, das unmöglich scheint. Aber schließlich bringen sie den Protagonisten Winston Smith dazu, zu glauben, es sei falsch und dass 2+2=5 wahr sei. In diesem Fall, so impliziert Orwell, kann man dazu gebracht werden, jede Wahrheit für falsch und alles Falsche für wahr zu halten. Wenn wir nicht wissen können, dass 2+2=4 wahr ist, können wir gar nichts wissen. Natürlich ist es ein strittiger Punkt, ob der allmächtige Staat bewirken kann, dass 2+2 nicht gleich 4 ist, im Gegensatz dazu, dass man lediglich dazu gebracht wird, zu glauben, dass 2+2≠4 ist. Aber die Auswirkung darauf, nicht zu wissen, was wahr ist, das heißt zu bezweifeln, was wahr und was falsch ist, ist dieselbe. Dieselbe Idee taucht bei Descartes in den Meditationen auf, wo es als unsicher angesehen werden kann, ob der böse Dämon (Genius malignus), oder sogar Gott, machen kann, dass 2+2=5 ist – aber dennoch kann jeder von beiden uns sicherlich dazu bringen, zu glauben, dass 2+2=5 ist, und das ist alles, was erforderlich ist, damit wir zweifeln, ob wir die Wahrheiten der Arithmetik kennen.

[2]: Sodass der Astronaut David Scott 1971 fröhlich erklärte: „Galileo hatte recht“.

[3]: John Stuart Mill vertritt eine faktisch-empiristische und psychologistische Sicht der Arithmetik. Diese Position wird von Gottlob Frege in Die Grundlagen der Arithmetik (1884) angegriffen, der stattdessen argumentiert, dass Zahlen objektive, abstrakte logische Entitäten sind.

[4]: Hier sind wir wieder bei Orwell.

[5]: Für den philosophischen Hintergrund hierzu müsste man in Immanuel Kants Kritik der reinen Vernunft [1781] schauen.

[6]: Hier blickt man auf Giuseppe Peano, Gottlob Frege, Bertrand Russell und Alfred North Whitehead.

[7]: Das Russellsche Paradoxon.

[8]: Für mehr über die Schwierigkeit, Mathematik aus einer Reihe von Axiomen abzuleiten, sollte man sich das Werk von Kurt Gödel (1906-1978) ansehen. Der Unvollständigkeitssatz. Der erste Teil davon zeigte, dass die Mathematik zwar logisch konsistent sein muss, aber jede Mathematik, die reicher als die Arithmetik ist, immer unvollständig sein würde, das heißt, sie würde immer wahre Theoreme enthalten, die nicht allein unter Verwendung der Axiome innerhalb dieses mathematischen Systems bewiesen werden könnten. Der zweite Teil des Satzes zeigte, dass ein solches mathematisches System seine eigene Konsistenz nicht beweisen könnte. Siehe Ernest Nagel und James R. Newman, Gödel’s Proof (London: Routledge & Kegan Paul, 1976).

[9]: Bertrand Russell und A. N. Whitehead, Principia Mathematica (Cambridge: Cambridge University Press, 1910), *54.43.

[10]: Es könnte behauptet werden, dass dies die Ansicht von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) war, obwohl er sie auf mögliche Welten ausdehnte, in denen alle notwendigen Wahrheiten, wie 2+2=4, wahr sind. Kontingente Wahrheiten, wie dass Hunde vier Beine haben, sind nur in einigen möglichen Welten wahr, da es nicht unmöglich ist, dass es eine mögliche Welt gibt, in der Hunde eine andere Anzahl von Beinen haben.

[11]: Dass sie in einem begrenzten Sinne erlaubt sein können, mit einem begrenzten Diskurs, wenn auch nicht global, wird von Graham Priest argumentiert, siehe zum Beispiel sein „Speaking of the Ineffable, East and West“, 2015, EuJAP, Vol.11, No.2. Aber darauf kann hier nicht eingegangen werden. Ich sage etwas mehr dazu in meinem Aufsatz, John Shand, „Ineffable Understanding“, Daily Philosophy, Juli 2023.